연속 시간 푸리에 급수 (CTFS, Continuous Time Fourier Series)
푸리에 급수는 임의의 주기 함수를 조화 함수의 합으로 나타내는 것이다. 덕분에 우리는 어떤 주기 함수를 삼각 함수의 합으로 분해할 수 있다는 것을 알았다. 따라서 어떤 못생긴 파동은 잘생긴 파동들의 합으로 표현할 수가 있게 된다. 여기부터는 일반적으로 신호처리에 사용하는 시간에 대한 함수로 $f(t)$를 다룬다.
푸리에 선생님: 임의의 주기 함수는 삼각함수의 합이다.
지난 시간에 푸리에 급수도 구할 수 있게 됐으니 심심해서 삼각파의 푸리에 계수도 구해 보고 사각파도 한 번 구해보면서 즐거운 시간을 갖다보면 같은 주파수의 $\sin$파와 $\cos$파가 계속 함께 나타난다는 것을 알 수 있다.
$$
f(t) = c_0+\sum_{ n=1 }^{ \infty } \left[ a_n \cos {\left( n\omega t \right)} + b_n \sin { \left( n\omega t \right)} \right],\omega=\frac{\pi}{L} \cdots (1)
$$
푸리에 급수의 계수는 아래와 같다.
$$
\begin{align}
c_0&=\frac{1 }{ 2L } \int_{-L}^{L}{ f\left( t \right) dt } \\
a_n&=\frac{1 }{ L } \int_{-L}^{L}{ f\left( t \right) \cos { \left(n\omega t \right) } dt } \\
b_n&=\frac{1 }{ L } \int_{-L}^{L}{ f\left( t \right) \sin { \left(n\omega t \right) } dt }
\end{align}
$$
1. 푸리에 급수의 복소 표현
가만히 보고 있으면 $\sin$과 $\cos$을 고등학교 때 달달 외웠던 삼각함수 공식 싸코코싸 코코싸싸 이런 걸로 합칠 수 있을 것만 같은 느낌이 드는 것이다. 근데 우리는 당연히 그런 공식을 다시 생각하고 싶지가 않으니 아름다운 오일러 공식의 힘을 빌리자. 고등학교 때도 오일러 공식을 썼으면 넘 쉽게 했을 텐데 그땐 왜 싸코코싸 이러고 있었지는 내심 아쉽다.
$$ e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta $$
식 (1)의 $\sin {\left( n\omega t \right)}$과 $\cos { \left( n\omega t \right)}$을 오일러 공식으로 표현하면 아래와 같다.
\begin{align}
\cos \left( n\omega t \right) &= \frac{ e^{jn \omega t} + e^{-jn \omega t} }{2} \\
\sin \left( n\omega t \right) &= \frac{ e^{jn \omega t} - e^{-jn \omega t} }{2j}
\end{align}
이제 그대로 식 (1)에 대입해보면 요렇게 된다.
\begin{align}
c_0+\sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n \cos {\left( n\omega t \right)} + b_n \sin { \left( n\omega t \right)} \right]
&= c_0+\sum_{n=1}^{ \infty } \left[a_n \frac{ e^{jn \omega t} + e^{-jn \omega t} }{2} + b_n \frac{ e^{jn \omega t} - e^{-jn \omega t} }{2j} \right] \\
&= c_0+\sum_{n=1}^{ \infty } \left[\frac{a_n - jb_n}{2}e^{jn \omega t} + \frac{a_n + jb_n}{2}e^{-jn \omega t} \right]
\end{align}
다시 정리해 보면,
\begin{align}
f \left( t \right)
&= c_0+\sum_{n=1}^{ \infty } \left[\frac{a_n - jb_n}{2}e^{jn \omega t} + \frac{a_n + jb_n}{2}e^{-jn \omega t} \right] \\
&= c_0+\sum_{n=1}^{ \infty } \left[F_{n}e^{jn \omega t} + F_{-n}e^{-jn \omega t} \right] \\
\end{align}
$c_0$는 $n=0$일 때로 생각할 수 있다. 따라서 다음과 같이 무한대 구간으로 표현할 수 있다.
$$ f \left( t \right) = \sum_{n=-\infty}^{ \infty } F_{n}e^{jn \omega t} $$
항상 우리가 궁금한 건 푸리에 급수의 계수다.
\begin{align}
F_n
&= \frac{1}{2} \left( a_n - jb_n \right)
= \frac{1}{2L}
\int_{-L}^{L} {
f\left( t \right)
\left[
\cos { \left(n\omega t \right) } - j\sin { \left(n\omega t\right) }
\right]
dt
} \\
F_{-n} &= \frac{1}{2} \left( a_n + jb_n \right)
= \frac{1}{2L}
\int_{-L}^{L} {
f\left( t \right)
\left[
\cos { \left(n\omega t \right) } +j\sin { \left(-n\omega t\right) }
\right]
dt
}
\end{align}
계수 $F_{-n}$에 있는 $\sin$ 함수를 보면 $\sin { \left(-n\omega t\right) } = -\sin { \left(n\omega t\right) }$ 이므로 $F_n = F_{-n}$이다. 서로 대칭이라는 뜻이다. 그리고 $F_n$ 내부에도 오일러 표현이 있으므로 다시 쓰면 다음과 같다.
$$
F_n
= \frac{1}{2L}
\int_{-L}^{L} {
f\left( t \right)
e^{-jn\omega t}
dt
}
$$
이제 $F_n$에 $n=0$을 대입해 보자. 그러면 아래와 같이 $F_0 = c_0$인 것을 알 수 있다. 따라서 우리가 구한 $F_n$으로 $n=0$을 포함해 $-\infty$부터 $\infty$까지 전 구간을 표현할 수 있다.
$$F_0 = \frac{1 }{ 2L } \int_{-L}^{L}{ f\left( t \right) dt } $$
다시 잘 생각해보면 $F_0$는 $\cos$ 항이 $n=0$일 때 계수의 절반인 셈이다. 따라서 $c_0 = a_0/2$처럼 표현할 수 있다. 결론적으로 상수항 $c_0$도 $\cos$항의 계수를 이용해 아래와 같이 다시 예쁘게 정리할 수 있다.
$$
f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{ n=1 }^{ \infty } \left[ a_n \cos {\left( n\omega t \right)} + b_n \sin { \left( n\omega t \right)} \right],\omega=\frac{\pi}{L} \cdots (1)
$$
이 식의 복소 표현은 아래와 같다.
\begin{align}
f \left( t \right) &= \sum_{n=-\infty}^{ \infty } F_{n}e^{jn \omega t} \\
F_n &= \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} { f\left( t \right) e^{-jn\omega t} dt }
\end{align}
2. 그래서 어쩌라고..
푸리에 급수를 아름다운 오일러 공식으로 이러쿵저러쿵해서 복수 함수로 표현하면 마찬가지로 아름다워진다. 대학교 수학 시간에 이런 짓을 하는 이유도 결국 푸리에 변환을 말하고 싶어서 시동을 걸었던 것이므로 역시 중요한 것은 푸리에 급수의 계수 $F_n$이다. 이 $F_n$이 푸리에 변환을 할 때 본 식과 비슷하다는 것을 수 있다.